Giải tích Ví dụ

$\int (5 e^{2 x} + \frac{1}{x}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int 5 e^{2 x} + \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \ln (| x |) + C$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{5}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$