Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $12$ và $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Bước 1.2

Kết hợp $\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ và $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Bước 2

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Bước 3

Viết lại $x^{6}$ ở dạng ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = x^{6}$ . Sau đó $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{6}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Bước 5.2

Nhân $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Bước 5.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Bước 7.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Bước 8.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + 2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 8.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $5$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 8.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 8.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Bước 8.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + 2$

Bước 8.1.4

Cộng $0$ và $2$ .

$2$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 9.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 11.3

Nhân $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$