Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sec (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{lower} = \sec (2 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \sec (2 x)$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{6})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \sec (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 1.5.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{3})$ là $2$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{2}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{2} u_{2}$ tại $2$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2) - \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

Bước 3.2.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 3.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 - 1}{2}$

Bước 3.2.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$