Giải tích Ví dụ

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Bước 1

Viết $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ ở dạng một hàm số.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (t)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Bước 4

Vì $d$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $d$ ra khỏi tích phân.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.5

Cộng $- 3$ và $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.6

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.8

Cộng $- 9$ và $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Bước 5.9

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Bước 5.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Bước 5.11

Cộng $3$ và $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Bước 5.12

Di chuyển $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Bước 5.13

Sắp xếp lại $10 t^{- 2}$ và $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{4}$ đối với $t$ là $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Bước 9

Vì $10$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- 2}$ đối với $t$ là $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Bước 11

Vì $12$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- 8}$ đối với $t$ là $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Bước 13.1.2

Kết hợp $t^{- 7}$ và $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Bước 13.1.3

Di chuyển $t^{- 7}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Bước 13.2

Rút gọn.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Bước 13.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$