Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sqrt{x} d x + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - \int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \ln (| x |) + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{4}{7}$ và $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + \ln (| x |) + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \ln (| x |) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{x} - x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + \ln (| x |) + C$