Giải tích Ví dụ

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Bước 1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Bước 1.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ và có tổng là $b = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Bước 1.2.2

Viết lại $- 4$ ở dạng $2$ cộng $- 6$

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Bước 1.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Bước 1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Bước 1.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Bước 2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Bước 3

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Khai triển $(- x + 2) (x + 6)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Bước 3.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Bước 3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Bước 3.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Bước 3.1.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Bước 3.1.2.1.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Bước 3.1.2.1.3

Nhân $2$ với $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Bước 3.1.2.2

Cộng $- 6 x$ và $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Bước 3.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Bước 3.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 3.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Bước 3.4.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Bước 3.4.2.2

Viết lại $- 1 \cdot - 2$ ở dạng $- - 2$ .

$d = - - 2$

Bước 3.4.2.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$d = 2$

Bước 3.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 3.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 4)}^{2}$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.1.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 3.5.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 3.5.2.1.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 3.5.2.1.1.4

Nhân $4^{2}$ với $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 3.5.2.1.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Bước 3.5.2.1.1.6

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Bước 3.5.2.1.2

Nhân $- (- 1 \cdot 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 12 - - 4$

Bước 3.5.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Bước 3.5.2.2

Cộng $12$ và $4$ .

$e = 16$

Bước 3.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = x + 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 4.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Bước 5.2

Sắp xếp lại $- u^{2}$ và $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (\frac{u}{4})$

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Bước 7

Viết lại $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ ở dạng $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Bước 9.3.3

Viết lại biểu thức.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$