Giải tích Ví dụ

$4 x (1 + \ln (x))$

Bước 1

Viết $4 x (1 + \ln (x))$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

Bước 4.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

Bước 4.3

Rút gọn $4 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

Bước 5

Viết lại $4 x + x \ln (x^{4})$ ở dạng $4 x + x (4 \ln (x))$ .

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

Bước 9

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

Bước 10

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 11.3

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Bước 11.5

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Bước 11.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Bước 11.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 11.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Bước 11.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Bước 14.2

Rút gọn.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $\frac{x^{2}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

Bước 14.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Bước 14.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Bước 14.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Bước 14.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Bước 14.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Bước 14.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{2}}{4}$ vào tử số.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Bước 14.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Bước 14.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

Bước 14.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

Bước 14.4.5

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$