Giải tích Ví dụ

${(3 t - 1)}^{3} d t$

Bước 1

Giả sử $u = 3 t - 1$ . Sau đó $d u = 3 d t$ , nên $\frac{1}{3} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 t - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 t - 1$ .

$\frac{1}{12} {(3 t - 1)}^{4} + C$