Giải tích Ví dụ

$- x y^{3} = - y^{2} - 3$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3}) = \frac{d}{d x} (- y^{2} - 3)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Bước 2.7

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Bước 2.8.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Bước 2.8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 y y' + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $- 2 y y'$ và $0$ .

$- 2 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' = - 2 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $2 y y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 2 y y' = 0$

Bước 5.2

Cộng $y^{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 3 y^{2} x y' + 2 y y' = y^{3}$

Bước 5.3

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 3 y^{2} x y' + 2 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 3 y^{2} x y'$ .

$y y' (- 3 y x) + 2 y y' = y^{3}$

Bước 5.3.2

Đưa $y y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y y' (- 3 y x) + y y' \cdot 2 = y^{3}$

Bước 5.3.3

Đưa $y y'$ ra ngoài $y y' (- 3 y x) + y y' \cdot 2$ .

$y y' (- 3 y x + 2) = y^{3}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y y' (- 3 y x + 2) = y^{3}$ cho $y (- 3 y x + 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y y' (- 3 y x + 2) = y^{3}$ cho $y (- 3 y x + 2)$ .

$\frac{y y' (- 3 y x + 2)}{y (- 3 y x + 2)} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y' (- 3 y x + 2)}{y (- 3 y x + 2)} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (- 3 y x + 2)}{- 3 y x + 2} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 3 y x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 3 y x + 2)}{- 3 y x + 2} = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{y (- 3 y x + 2)}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{3}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{3}$ .

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 3 y x + 2)}$

Bước 5.4.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (- 3 y x + 2)}$

Bước 5.4.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{y^{2}}{- 3 y x + 2}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 y x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- (3 y x) + 2}$

Bước 5.4.3.3

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- (3 y x) - 1 (- 2)}$

Bước 5.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 y x) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- (3 y x - 2)}$

Bước 5.4.3.5

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.5.1

Viết lại $- (3 y x - 2)$ ở dạng $- 1 (3 y x - 2)$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- 1 (3 y x - 2)}$

Bước 5.4.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 2}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{3 y x - 2}$