Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 4} {(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Đưa số mũ $\frac{1}{3}$ từ ${(\frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{x \to 4} \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

${(\frac{lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 5

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 3 x - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 7

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

${(\frac{3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

${(\frac{3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nhân $3$ với $4$ .

${(\frac{12 - 1 \cdot 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

${(\frac{12 - 4}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.1.3

Trừ $4$ khỏi $12$ .

${(\frac{8}{4^{2} + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

${(\frac{8}{16 + 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1 \cdot 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(\frac{8}{16 + 12 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.2.4

Cộng $16$ và $12$ .

${(\frac{8}{28 - 1})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.2.5

Trừ $1$ khỏi $28$ .

${(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 11.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.4.4

Tính số mũ.

$\frac{2}{27^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{2}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 11.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 11.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3^{3 (\frac{1}{3})}}$

Bước 11.5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3^{1}}$

Bước 11.5.4

Tính số mũ.

$\frac{2}{3}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$