Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

Bước 3.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $x^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

Bước 5.1.2

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $- \frac{1}{3 x^{3}}$ tại $t$ và tại $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

Bước 6.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Bước 6.1.3

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Bước 6.2

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{t^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

Bước 6.3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính giới hạn của $\frac{1}{3}$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

Bước 6.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

Bước 6.3.2.1.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{3})$

Bước 6.3.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3})$

Bước 6.3.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{3}$

Dạng thập phân:

$1.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{2}{3}$