Giải tích Ví dụ

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

Bước 1

Viết $e^{\frac{x + 1}{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = \frac{x + 1}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \frac{x + 1}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x + 1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x + 1}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Bước 4.1.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 4.1.6.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

Bước 5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int e^{u} d u$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$2 e^{u} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + 1}{2}$ .

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$