Giải tích Ví dụ

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{2}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $15$ .

$- 3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 75$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 75 x$ đối với $x$ là $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.4.3

Nhân $- 75$ với $1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $125$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $125$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ và $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- 75]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (30 x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $30$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $30 x$ đối với $x$ là $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 75)$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 75)$

Bước 2.3.3

Nhân $30$ với $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 + \frac{d}{d x} (- 75)$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 75$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 75$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $- 6 x + 30$ và $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 30$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{2}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $15$ .

$- 3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- 75$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 75 x$ đối với $x$ là $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.4.3

Nhân $- 75$ với $1$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + \frac{d}{d x} [125]$

Bước 4.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Vì $125$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $125$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 + 0$

Bước 4.1.5.2

Cộng $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ và $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 30 x - 75$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

Bước 5.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 30 x - 75 = 0$

Bước 5.2.1.2

Đưa $- 3$ ra ngoài $30 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 75 = 0$

Bước 5.2.1.3

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 75$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

Bước 5.2.1.4

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 (x^{2}) - 3 (- 10 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 \cdot 25 = 0$

Bước 5.2.1.5

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 (x^{2} - 10 x) - 3 (25)$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Bước 5.2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Bước 5.2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Bước 5.2.2.3

Viết lại đa thức này.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 5.2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 5$ .

$- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 {(x - 5)}^{2} = 0$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia ${(x - 5)}^{2}$ cho $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia $0$ cho $- 3$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Bước 5.4

Đặt $x - 5$ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 5.5

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 5$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 5$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 6 \cdot 5 + 30$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 6$ với $5$ .

$- 30 + 30$

Bước 9.2

Cộng $- 30$ và $30$ .

$0$

Bước 10

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Bước 10.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \infty, 5)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 30 (0) - 75$

Bước 10.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 30 (0) - 75$

Bước 10.2.2.1.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 30 (0) - 75$

Bước 10.2.2.1.3

Nhân $30$ với $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 75$

Bước 10.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f' (0) = 0 - 75$

Bước 10.2.2.2.2

Trừ $75$ khỏi $0$ .

$f' (0) = - 75$

Bước 10.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 75$ .

$- 75$

Bước 10.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $8$ , từ khoảng $(5, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- 3 x^{2} + 30 x - 75$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $8$ trong biểu thức.

$f' (8) = - 3 {(8)}^{2} + 30 (8) - 75$

Bước 10.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (8) = - 3 \cdot 64 + 30 (8) - 75$

Bước 10.3.2.1.2

Nhân $- 3$ với $64$ .

$f' (8) = - 192 + 30 (8) - 75$

Bước 10.3.2.1.3

Nhân $30$ với $8$ .

$f' (8) = - 192 + 240 - 75$

Bước 10.3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Cộng $- 192$ và $240$ .

$f' (8) = 48 - 75$

Bước 10.3.2.2.2

Trừ $75$ khỏi $48$ .

$f' (8) = - 27$

Bước 10.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 27$ .

$- 27$

Bước 10.4

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = 5$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 10.5

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 11