Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $v^{4}$ ra ngoài $v^{4} + 4 v^{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Nhân với $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Bước 1.1.2

Đưa $v^{4}$ ra ngoài $4 v^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Bước 1.1.3

Đưa $v^{4}$ ra ngoài $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Bước 1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $v^{4}$ ra ngoài $v^{5}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

Bước 2

Sắp xếp lại $1$ và $4 v^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

Bước 3

Chia $4 v^{4} + 1$ cho $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Bước 3.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 v^{4}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Bước 3.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Bước 3.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 v^{4} + 0$

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Bước 3.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Bước 3.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

Bước 3.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $v$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $v^{3}$ đối với $v$ là $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{v}$ đối với $v$ là $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính $\frac{v^{4}}{4}$ tại $2$ và tại $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Bước 9.1.2

Tính $\ln (| v |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.2.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.4

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.5

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.7.1

Nhân $4$ với $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.7.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.8

Kết hợp $4$ và $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.9

Nhân $4$ với $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $60$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.10.1

Đưa $4$ ra ngoài $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.10.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.1.3.10.2.4

Chia $15$ cho $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Bước 9.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Bước 9.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

Bước 9.3.3

Chia $2$ cho $1$ .

$15 + \ln (2)$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$15 + \ln (2)$

Dạng thập phân:

$15.69314718 \dots$

Bước 11