Giải tích Ví dụ

$\int csch (\frac{1}{2} x) \coth (\frac{1}{2} x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{2} x$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{2} x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int csch (u) \coth (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int csch (u) \coth (u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int csch (u) \coth (u) \cdot 2 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $csch (u) \coth (u)$ .

$\int 2 csch (u) \coth (u) d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int csch (u) \coth (u) d u$

Bước 4

Vì đạo hàm của $- csch (u)$ là $csch (u) \coth (u)$ , tích phân của $csch (u) \coth (u)$ là $- csch (u)$ .

$2 (- csch (u) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

$2 (- csch (u)) + C$

Bước 5.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 csch (u) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{2} x$ .

$- 2 csch (\frac{1}{2} x) + C$