Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = x + 1$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = x + 4$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 4$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 5.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Bước 5.3

Cộng $0$ và $4$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = x + 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Bước 5.5

Cộng $1$ và $4$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 2}$ đối với $u_{2}$ là $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\ln (| u_{1} |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

Bước 8.2

Tính $- {u_{2}}^{- 1}$ tại $5$ và tại $4$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

Bước 8.3.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

Bước 8.3.3

Để viết $- \frac{1}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Bước 8.3.4

Để viết $\frac{1}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $20$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.5.2

Nhân $5$ với $4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Bước 8.3.5.3

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

Bước 8.3.5.4

Nhân $4$ với $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

Bước 8.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

Bước 8.3.7

Cộng $- 4$ và $5$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

Bước 9

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

Bước 10.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

Bước 10.3

Chia $2$ cho $1$ .

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

Dạng thập phân:

$0.74314718 \dots$

Bước 12