Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 15 e^{- 5 x}}{\frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to \infty} 15 e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 1.4

Chuyển số hạng $15$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - 15 lim_{x \to \infty} e^{- 5 x}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 2

Vì số mũ $- 5 x$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{- 5 x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4 \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \cos (\frac{5}{x})}$

Bước 5.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (lim_{x \to \infty} \frac{5}{x})}$

Bước 5.3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2 - 15 \cdot 0$ và $0 + 4 \cos (5 \cdot 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 15 \cdot 0}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 15 \cdot 0$ .

$\frac{- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- 2) - (15 \cdot 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 15 \cdot 0)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.1.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 1 (- 2 + 0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{0 + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 4 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.1.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cos (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))}$

Bước 7.1.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (0) + 2 (2 \cos (5 \cdot 0))$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Bước 7.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 15))}{2 (0 + 2 \cos (5 \cdot 0))}$

Bước 7.1.6.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 15)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $0$ với $15$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 0)}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.2.2

Cộng $- 1$ và $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (5 \cdot 0)}$

Bước 7.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Bước 7.3.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Bước 7.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{0 + 2}$

Bước 7.3.4

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Bước 7.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2}$