Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 1$ và $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.2.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Bước 1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Bước 1.9.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Bước 1.9.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Bước 2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Bước 2.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.3.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.3.1.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.3.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.3.2

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$\frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.3.3

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Bước 2.7.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Bước 2.7.4.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.7.4.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Bước 2.7.4.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Bước 2.7.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$