Giải tích Ví dụ

$y - 2 x^{2} = x y - 5$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (x y - 5)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y' - 2 (2 x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y' - 4 x$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 x + y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 3.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$x y' + y + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $x y' + y$ và $0$ .

$x y' + y$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 4 x + y' = x y' + y$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $x y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 x + y' - x y' = y$

Bước 5.2

Cộng $4 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y' - x y' = y + 4 x$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' - x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' = y + 4 x$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x) = y + 4 x$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot 1 + y' (- x)$ .

$y' (1 - x) = y + 4 x$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - x) = y + 4 x$ cho $1 - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (1 - x) = y + 4 x$ cho $1 - x$ .

$\frac{y' (1 - x)}{1 - x} = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (1 - x)}{1 - x} = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{1 - x} + \frac{4 x}{1 - x}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y + 4 x}{1 - x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 4 x}{1 - x}$