Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to \infty} \frac{6 n^{3} + 2 n^{2} + 10}{n^{3} + 1}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $n$ trong mẫu số, chính là $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6 n^{3}}{n^{3}} + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.1.1.2

Chia $6$ cho $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2 n^{2}}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $n^{2}$ và $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $n^{2}$ ra ngoài $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Đưa $n^{2}$ ra ngoài $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $n^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{\frac{n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{n \to \infty} \frac{6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + \frac{2}{n} + \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{6 + lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 2.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{6 + 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{n}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} \frac{10}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $10$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $n$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{n^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $n$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{n^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6 + 2 \cdot 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{6 + 0 + 10 \cdot 0}{1 + 0}$

Bước 8.1.2

Nhân $10$ với $0$ .

$\frac{6 + 0 + 0}{1 + 0}$

Bước 8.1.3

Cộng $6 + 0$ và $0$ .

$\frac{6 + 0}{1 + 0}$

Bước 8.1.4

Cộng $6$ và $0$ .

$\frac{6}{1 + 0}$

Bước 8.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{6}{1}$

Bước 8.3

Chia $6$ cho $1$ .

$6$