Giải tích Ví dụ

$e^{x} + e^{- x}$

Bước 1

Viết $e^{x} + e^{- x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{x} + e^{- x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{x} + e^{- x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Bước 5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

Bước 6

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 6.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} + C - \int e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{x} + C - (e^{u} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$e^{x} - e^{u} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$e^{x} - e^{- x} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$F (x) =$ $e^{x} - e^{- x} + C$