Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 4 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 4 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 4 + 1$

Bước 2.3.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{lower} = 5$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Bước 2.5.2

Cộng $4$ và $4$ .

$u_{upper} = 8$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3

Nhân $\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ với $1$ .

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $8$ và tại $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.3

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.3.2

Nhân $3 (\frac{3}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.3.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.7

Cộng $2$ và $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Bước 7.2.8

Kết hợp $5^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Bước 7.2.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Dạng thập phân:

$7.63138474 \dots$

Bước 9