Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Sau đó $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$15 x^{2} + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $15 x^{2}$ và $0$ .

$15 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ với $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

Bước 3.2

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{15}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{15}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{15}$ và $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

Bước 6.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Bước 6.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $3$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Bước 6.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $- e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Bước 6.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

Bước 6.1.4

Trừ $e^{u_{1}}$ khỏi $0$ .

$- e^{u_{1}}$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{2}{15}$ và $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$