Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Bước 1

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[1, 7]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{3}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 1.2

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[1, 7]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\ln (| x |)$ tại $7$ và tại $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Bước 7.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $7$ là $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Bước 7.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Bước 7.3.3

Chia $7$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Bước 8

Trừ $1$ khỏi $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Bước 9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Bước 9.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 \ln (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Bước 9.4

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Bước 10

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Bước 11