Giải tích Ví dụ

$- 2 y = - 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- 2 y) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 x^{2} - 4 x + 3 y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{2}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 10 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Bước 3.3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 10 x - 4 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 10 x - 4 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- 10 x - 4 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 10 x - 4 + 3 (3 y^{2} y')$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $3$ .

$- 10 x - 4 + 9 y^{2} y'$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 y^{2} y' - 10 x - 4$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 2 y' = 9 y^{2} y' - 10 x - 4$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $9 y^{2} y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 y' - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 y' - 9 y^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 y'$ .

$y' \cdot - 2 - 9 y^{2} y' = - 10 x - 4$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 9 y^{2} y'$ .

$y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cdot - 2 + y' (- 9 y^{2})$ .

$y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ cho $- 2 - 9 y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 2 - 9 y^{2}) = - 10 x - 4$ cho $- 2 - 9 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 - 9 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 2 - 9 y^{2})}{- 2 - 9 y^{2}} = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{- 2 - 9 y^{2}} + \frac{- 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 10 x - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 10 x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x) - 4}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x) + 2 (- 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 5 x) + 2 (- 2)$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 x$ .

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 2)}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.4

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 (- (5 x) - 1 (2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 (- (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.6

Viết lại $- (5 x + 2)$ ở dạng $- 1 (5 x + 2)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 2 - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.7

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - 9 y^{2}}$

Bước 5.3.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 9 y^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2) - (9 y^{2})}$

Bước 5.3.3.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - (9 y^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

Bước 5.3.3.10

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- 1 (5 x + 2))}{- 1 (2 + 9 y^{2})}$

Bước 5.3.3.11

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (5 x + 2)}{2 + 9 y^{2}}$