Giải tích Ví dụ

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ và $g (y) = 5 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.6.3

Di chuyển ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Bước 3.8

Vì $5$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $y$ là $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Bước 3.9

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

Bước 3.10

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

Bước 3.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Cộng $5 x'$ và $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

Bước 3.11.2

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

Bước 3.11.3

Kết hợp $\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ và $x'$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Rút gọn $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.3.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nhân $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ với $1$ .

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ cho $5$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$