Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Bước 3.3

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

Bước 5.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $e^{2 x}$ với $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Bước 5.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Bước 6.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Bước 6.4

Đưa $2 e^{2 x}$ ra ngoài $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $2 e^{2 x}$ ra ngoài $- 4 e^{2 x} x$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Bước 6.4.2

Đưa $2 e^{2 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

Bước 6.4.3

Đưa $2 e^{2 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 x}$ và $e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Bước 6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

Bước 6.5.2.4

Chia $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ cho $1$ .

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

Bước 6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Bước 6.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Bước 6.8

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Bước 6.9

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Bước 6.10

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ .

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$