Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

Bước 3

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

Bước 4

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 4.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

Bước 5

Nhân $(u + 1) u^{6}$ .

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $u$ với $u^{6}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $u$ với $u^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

Bước 6.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

Bước 6.1.2

Cộng $1$ và $6$ .

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

Bước 6.2

Nhân $u^{6}$ với $1$ .

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{7}$ đối với $u$ là $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

Bước 10.1.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

Bước 10.2

Rút gọn.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$