Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khai triển $(5 i - 2) (i + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

Bước 1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

Bước 1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Bước 1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nhân $i$ với $i$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Di chuyển $i$ .

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Bước 1.2.1.1.2

Nhân $i$ với $i$ .

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Bước 1.2.1.2

Nhân $3$ với $5$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

Bước 1.2.1.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

Bước 1.2.2

Trừ $2 i$ khỏi $15 i$ .

$5 i^{2} + 13 i - 6$

Bước 1.3

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

Bước 3

Tính $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $50$ và $1$ .

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Nhân $50$ với $51$ .

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.2.2

Nhân $2$ với $50$ .

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $100$ và $1$ .

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $2550$ với $101$ .

$5 (\frac{257550}{6})$

Bước 3.3.2.2

Chia $257550$ cho $6$ .

$5 \cdot 42925$

Bước 3.3.2.3

Nhân $5$ với $42925$ .

$214625$

Bước 4

Tính $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $50$ và $1$ .

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Bước 4.3.2

Nhân $50$ với $51$ .

$13 (\frac{2550}{2})$

Bước 4.3.3

Chia $2550$ cho $2$ .

$13 \cdot 1275$

Bước 4.3.4

Nhân $13$ với $1275$ .

$16575$

Bước 5

Tính $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 5.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(- 6) (50)$

Bước 5.3

Nhân $- 6$ với $50$ .

$- 300$

Bước 6

Cộng các kết quả của tổng.

$214625 + 16575 - 300$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $214625$ và $16575$ .

$231200 - 300$

Bước 7.2

Trừ $300$ khỏi $231200$ .

$230900$