Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} \sin (x)$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{4} \sin (x))$

Bước 2

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\ln (x^{4} \sin (x))$ ở dạng $\ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$

Bước 2.2

Khai triển $\ln (x^{4})$ bằng cách di chuyển $4$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \ln (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Bước 3.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2.4.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2.4.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Bước 3.2.4.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \csc (x) \cos (x)$

Bước 3.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{4}{x}$

Bước 3.2.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

Bước 3.2.5.2.2

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

Bước 3.2.5.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{4}{x}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (\cot (x) + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{4} \sin (x)) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $x^{4} \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Bước 5.3.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

Bước 5.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} \sin (x)$ .

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

Bước 5.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \cos (x) x^{4} + 4 (x^{3} \sin (x))$

Bước 5.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (x) x^{4} + 4 x^{3} \sin (x)$ .

$y' = x^{4} \cos (x) + 4 x^{3} \sin (x)$