Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{1} 1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$x]_{0}^{1} + 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 7

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Bước 10

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Bước 12.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính $x$ tại $1$ và tại $0$ .

$(1) + 0 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Bước 12.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Bước 12.2.3

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Bước 12.2.4

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $1$ và tại $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} + 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.6

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.7

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.8

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{2}{1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.8.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$1 + 2 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.9

Cộng $1$ và $2$ .

$3 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} + 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.14

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.15

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 + \frac{9}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.16

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.16.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.16.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 + \frac{3}{1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.16.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 + 3 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.17

Cộng $3$ và $3$ .

$6 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.18

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Bước 12.2.5.19

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Bước 12.2.5.20

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.20.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Bước 12.2.5.20.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.20.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Bước 12.2.5.20.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Bước 12.2.5.20.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Bước 12.2.5.20.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - 0)$

Bước 12.2.5.21

Nhân $- 1$ với $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} + 0)$

Bước 12.2.5.22

Cộng $\frac{1}{4}$ và $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4})$

Bước 12.2.5.23

Kết hợp $16$ và $\frac{1}{4}$ .

$6 + \frac{16}{4}$

Bước 12.2.5.24

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.24.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Bước 12.2.5.24.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.5.24.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Bước 12.2.5.24.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Bước 12.2.5.24.2.3

Viết lại biểu thức.

$6 + \frac{4}{1}$

Bước 12.2.5.24.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$6 + 4$

Bước 12.2.5.25

Cộng $6$ và $4$ .

$10$

Bước 13