Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.2.4

Kết hợp $\frac{4}{4}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.2.5.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Bước 1.1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Vì $24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $24 x^{2}$ đối với $x$ là $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Bước 1.1.1.4.3

Nhân $2$ với $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Bước 1.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{2}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Bước 1.1.2.2.3

Nhân $2$ với $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $48 x$ đối với $x$ là $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

Bước 1.1.2.3.3

Nhân $48$ với $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $48$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Bước 1.2.2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Bước 1.2.2.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Bước 1.2.2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Bước 1.2.2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Bước 1.2.2.2.3

Viết lại đa thức này.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Bước 1.2.2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia ${(x + 4)}^{2}$ cho $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x + 4$ bằng $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 1.2.5

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - 4)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

Bước 4.2.1.2

Nhân $3$ với $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

Bước 4.2.1.3

Nhân $24$ với $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $144$ khỏi $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

Bước 4.2.2.2

Cộng $- 36$ và $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $12$ .

$12$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, - 4)$ vì $f'' (- 6)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, - 4)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- 4, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

Bước 5.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

Bước 5.2.1.3

Nhân $24$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

Bước 5.2.2.2

Cộng $0$ và $48$ .

$f'' (0) = 48$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $48$ .

$48$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- 4, \infty)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- 4, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, - 4)$ vì $f'' (x)$ dương

Lõm trên $(- 4, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7