Giải tích Ví dụ

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Bước 4

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Bước 6

Khai triển ${(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại ${(x^{2} - 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\int (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Bước 6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1) x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Bước 6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

Bước 6.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.8

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $- 1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.10

Cộng $2$ và $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{4 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.12

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\int x^{2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.13

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int x^{2} - (x^{2} x^{- 2}) - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2} - x^{2 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.15

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int x^{2} - x^{0} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.16

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.17

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.18

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int x^{2} - 1 - (x^{2} x^{- 2}) - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2} - 1 - x^{2 - 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.20

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int x^{2} - 1 - x^{0} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.21

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.22

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.23

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.24

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + x^{- 2} d x$

Bước 6.25

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\int x^{2} - 2 + x^{- 2} d x$

Bước 6.26

Sắp xếp lại $- 2$ và $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int - 2 d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C - 2 x + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Bước 11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$