Giải tích Ví dụ

$\int x (3 x + 5) (4 x - 5) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x - 5$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x - 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) u \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u$ .

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) + 5) \frac{u}{4} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} + \frac{5}{4}) (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5) + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) + 5)) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5 + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + (\frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) + \frac{5}{4} \cdot 5) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

Bước 3.11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Bước 3.12

Sắp xếp lại $\frac{u}{4}$ và $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Bước 3.13

Sắp xếp lại $\frac{u}{4}$ và $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Bước 3.14

Sắp xếp lại $\frac{u}{4}$ và $5$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Bước 3.15

Sắp xếp lại $\frac{5}{4}$ và $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} (3 (\frac{5}{4})) \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Bước 3.16

Sắp xếp lại $\frac{5}{4}$ và $3$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + \frac{5}{4} \cdot 5 \frac{u}{4} d u$

Bước 3.17

Sắp xếp lại $\frac{5}{4}$ và $5$ .

$\int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} d u$

Bước 3.18

Kết hợp $3$ và $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.19

Nhân $\frac{3 u}{4}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.20

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.21

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{3 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.23

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.24

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.25

Nhân $\frac{3 u^{2}}{16}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{2} u}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.26

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 (u^{2} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.27

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{3 u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.28

Cộng $2$ và $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.29

Nhân $16$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + 3 \frac{u}{4} \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.30

Kết hợp $3$ và $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.31

Nhân $\frac{3 u}{4}$ với $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.32

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5}{16} \cdot \frac{u}{4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.33

Nhân $\frac{3 u \cdot 5}{16}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{16 \cdot 4} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.34

Nhân $16$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + 5 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.35

Kết hợp $5$ và $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u}{4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.36

Nhân $\frac{5 u}{4}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u \cdot u}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.37

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.38

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.39

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.40

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.41

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.42

Kết hợp $3$ và $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.43

Nhân $3$ với $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.44

Nhân $\frac{15}{4}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.45

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.46

Nhân $\frac{15 u}{16}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u \cdot u}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.47

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 (u^{1} u)}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.48

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 (u^{1} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.49

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.50

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.51

Nhân $16$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + 3 (\frac{5}{4}) \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.52

Kết hợp $3$ và $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{3 \cdot 5}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.53

Nhân $3$ với $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{15}{4} \cdot \frac{5}{4} \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.54

Nhân $\frac{15}{4}$ với $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{15 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.55

Nhân $15$ với $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.56

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75}{16} \cdot \frac{u}{4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.57

Nhân $\frac{75}{16}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{16 \cdot 4} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.58

Nhân $16$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + 5 (\frac{5}{4}) \frac{u}{4} d u$

Bước 3.59

Kết hợp $5$ và $\frac{5}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{5 \cdot 5}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Bước 3.60

Nhân $5$ với $5$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Bước 3.61

Nhân $\frac{25}{4}$ với $\frac{u}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{4 \cdot 4} d u$

Bước 3.62

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{16} d u$

Bước 3.63

Để viết $\frac{25 u}{16}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u}{16} \cdot \frac{4}{4} d u$

Bước 3.64

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $64$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.64.1

Nhân $\frac{25 u}{16}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{16 \cdot 4} d u$

Bước 3.64.2

Nhân $16$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u}{64} + \frac{25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.65

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2}}{64} + \frac{75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.66

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.67

Để viết $\frac{5 u^{2}}{16}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2}}{16} \cdot \frac{4}{4} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.68

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $64$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.68.1

Nhân $\frac{5 u^{2}}{16}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.68.2

Nhân $16$ với $4$ .

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.69

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u}{64} + \frac{5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.70

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.71

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 75 u + 25 u \cdot 4}{64} d u$

Bước 3.72

Sắp xếp lại $75 u$ và $25 u \cdot 4$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 15 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 3.73

Sắp xếp lại $5 u^{2} \cdot 4$ và $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 3 u \cdot 5 u + 15 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 3.74

Sắp xếp lại $3 u \cdot 5 u$ và $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 3 u \cdot 5 u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $5$ với $3$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u \cdot u + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 (u^{1} u) + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 (u^{1} u^{1}) + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u^{1 + 1} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 15 u^{2} + 15 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.6

Cộng $15 u^{2}$ và $15 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 30 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 4 + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.7

Nhân $4$ với $5$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 30 u^{2} + 20 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.8

Cộng $30 u^{2}$ và $20 u^{2}$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 25 u \cdot 4 + 75 u}{64} d u$

Bước 4.9

Nhân $4$ với $25$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 100 u + 75 u}{64} d u$

Bước 4.10

Cộng $100 u$ và $75 u$ .

$\int \frac{3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u}{64} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{64}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{64}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{64} \int 3 u^{3} + 50 u^{2} + 175 u d u$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{64} (\int 3 u^{3} d u + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Bước 7

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{64} (3 \int u^{3} d u + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 50 u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Bước 9

Vì $50$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $50$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 \int u^{2} d u + \int 175 u d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 175 u d u)$

Bước 11

Vì $175$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $175$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 175 \int u d u)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 50 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 175 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{64} (\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{50 u^{3}}{3} + \frac{175 u^{2}}{2}) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x - 5$ .

$\frac{1}{64} (\frac{3 {(4 x - 5)}^{4}}{4} + \frac{50 {(4 x - 5)}^{3}}{3} + \frac{175 {(4 x - 5)}^{2}}{2}) + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{64} (\frac{3}{4} {(4 x - 5)}^{4} + \frac{50}{3} {(4 x - 5)}^{3} + \frac{175}{2} {(4 x - 5)}^{2}) + C$