Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sqrt[3]{u}$ .

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ ở dạng $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7.2.5

Nhân $u^{\frac{2}{3}}$ với $1$ .

$u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$