Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{7}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{7}$ và $g (x) = \frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x^{2} + 2$ và $g (x) = x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2] - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $3$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + 0) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $6 x$ và $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 \cdot (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.10.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 3.10.3

Kết hợp $\frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ và $7$ .

$\frac{(6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)) \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

Bước 3.10.4

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{7 \cdot (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{7 (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 ((6 x + 6 \cdot 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7 (6 x \cdot x) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x)) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x^{1})) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7 (6 x^{1 + 1}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{7 (6 x^{2}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.5

Nhân $6$ với $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.6

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.7

Nhân $6$ với $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.8

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- 3 x^{2}) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.9

Nhân $- 3$ với $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.10

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.11

Nhân $7$ với $- 2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.12

Trừ $21 x^{2}$ khỏi $42 x^{2}$ .

$\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.13

Nhân $\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}}$ với $\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{6}}$

Bước 4.6.14

Nhân ${(x + 1)}^{2}$ với ${(x + 1)}^{6}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.14.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2 + 6}}$

Bước 4.6.14.2

Cộng $2$ và $6$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{8}}$

Bước 4.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (21 x^{2} + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Bước 4.8

Đưa $7$ ra ngoài $21 x^{2} + 42 x - 14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đưa $7$ ra ngoài $21 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Bước 4.8.2

Đưa $7$ ra ngoài $42 x$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

Bước 4.8.3

Đưa $7$ ra ngoài $- 14$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

Bước 4.8.4

Đưa $7$ ra ngoài $7 (3 x^{2}) + 7 (6 x)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

Bước 4.8.5

Đưa $7$ ra ngoài $7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x - 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} \cdot 7 (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$

Bước 4.9

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của ${(3 x^{2} + 2)}^{6}$ .

$\frac{7 {(3 x^{2} + 2)}^{6} (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$