Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{3 x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{3}{2} d x$ , nên $\frac{2}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{3 x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$\frac{3}{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Bước 1.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Bước 1.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Bước 1.3.1.2.4

Chia $3 \cdot 0$ cho $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Bước 1.3.2

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Bước 1.5

Nhân $3$ với $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Bước 2.3

Kết hợp $5^{u}$ và $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Bước 2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $5^{u}$ đối với $u$ là $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Bước 5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ tại $\frac{3}{2}$ và tại $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Bước 6.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Bước 7.2

Kết hợp $2$ và $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Bước 7.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 7.4

Kết hợp.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Bước 7.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Bước 7.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Dạng thập phân:

$4.21693387 \dots$

Bước 9