Giải tích Ví dụ

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Bước 1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Bước 1.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

Bước 4

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 5.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 5.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 5.1.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 5.1.5

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Bước 5.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Bước 5.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Đưa $\cos (t)$ ra ngoài $\sin (t) (2 \cos (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Bước 5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Bước 5.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

Bước 5.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

Bước 7.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

Bước 7.3

Nhân $2$ với $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Bước 8

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$