Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 7 x - 9$ . Sau đó $d u = 7 d x$ , nên $\frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 7 x - 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $7 x - 9$ .

$\frac{d}{d x} [7 x - 9]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $7$ với $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$7 + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $7$ và $0$ .

$7$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{7} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 7} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{7 \sqrt{u}} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 6.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{7} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\frac{1}{7} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $2$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x - 9$ .

$\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 x - 9}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{7} {(7 x - 9)}^{\frac{1}{2}} + C$