Giải tích Ví dụ

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 9 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Bước 2

Giả sử $u = θ^{2}$ . Sau đó $d u = 2 θ d θ$ , nên $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = θ^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 θ$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $θ$ trong $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $\sqrt{\frac{π}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Bước 2.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Bước 2.3.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Bước 2.3.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Bước 2.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Bước 2.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Bước 2.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Bước 2.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Bước 2.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Bước 2.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Bước 2.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Bước 2.3.3.6.5

Tính số mũ.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 2.3.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Viết lại ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ ở dạng $π \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{π \cdot 2}$ ở dạng ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.3.6.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 2.3.6.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 2.3.6.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 2.3.6.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Bước 2.3.6.1.5

Rút gọn.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Bước 2.3.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Bước 2.3.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Bước 2.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Bước 2.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $θ$ trong $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Bước 2.5

Viết lại ${\sqrt{π}}^{2}$ ở dạng $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{π}$ ở dạng $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π^{1}$

Bước 2.5.5

Rút gọn.

$u_{upper} = π$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{u}{2}$ và $\cos (u)$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Bước 6

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Bước 7

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $u \sin (u)$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Bước 8.2

Tính $- \cos (u)$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\sin (\frac{π}{2})$ và $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Bước 8.3.2

Để viết $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Bước 8.3.3

Kết hợp $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Bước 8.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Bước 8.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Bước 9.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Bước 9.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Bước 9.4

Cộng $- \cos (π)$ và $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Bước 9.5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Bước 9.6

Để viết $π \sin (π)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Bước 9.7

Kết hợp $π \sin (π)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Bước 9.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Bước 9.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π \sin (π)$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Bước 9.10

Nhân $\frac{9}{2}$ với $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

Bước 9.11

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{9 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

Bước 10.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{9 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Bước 10.3

Nhân $2 π \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{9 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

Bước 10.3.2

Nhân $0$ với $π$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

Bước 10.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{9 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

Bước 10.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

Bước 10.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

Bước 10.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{9 (0 - π - 2)}{4}$

Bước 10.8

Trừ $π$ khỏi $0$ .

$\frac{9 (- π - 2)}{4}$

Bước 10.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{9 (- π) + 9 \cdot - 2}{4}$

Bước 10.10

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\frac{- 9 π + 9 \cdot - 2}{4}$

Bước 10.11

Nhân $9$ với $- 2$ .

$\frac{- 9 π - 18}{4}$

Bước 10.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 9 π$ .

$\frac{- (9 π) - 18}{4}$

Bước 10.13

Viết lại $- 18$ ở dạng $- 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π) - 1 (18)}{4}$

Bước 10.14

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (9 π) - 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π + 18)}{4}$

Bước 10.15

Viết lại $- (9 π + 18)$ ở dạng $- 1 (9 π + 18)$ .

$\frac{- 1 (9 π + 18)}{4}$

Bước 10.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{9 π + 18}{4}$

Dạng thập phân:

$- 11.56858347 \dots$