Giải tích Ví dụ

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - \frac{5}{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Bước 3.3

Vì $- \frac{5}{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{5}{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Bước 3.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

Bước 4.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{5}{4}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.4

Trừ $\frac{5 e^{x}}{4}$ khỏi $e^{x} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.4.2

Để viết $x^{2} e^{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.4.3

Kết hợp $x^{2} e^{x}$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.5.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $4 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.5.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- 5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.5.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

Bước 4.6

Để viết $2 e^{x} x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

Bước 4.7

Kết hợp $2 e^{x} x$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Bước 4.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Bước 4.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $2 e^{x} x \cdot 4$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

Bước 4.9.1.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

Bước 4.9.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

Bước 4.9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

Bước 4.9.4

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.4.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ và có tổng là $b = 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.4.1.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 x$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

Bước 4.9.4.1.2

Viết lại $8$ ở dạng $- 2$ cộng $10$

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

Bước 4.9.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

Bước 4.9.4.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.4.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

Bước 4.9.4.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

Bước 4.9.4.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x - 1$ .

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$