Giải tích Ví dụ

$z = y {(3 + 2 x)}^{4}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (y {(3 + 2 x)}^{4})$

Bước 2

Đạo hàm của $z$ đối với $x$ là $z'$ .

$z'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $y {(3 + 2 x)}^{4}$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 3 + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 + 2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$y (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 + 2 x$ .

$y (4 {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y$ .

$4 \cdot y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.3.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.3.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.6

Nhân $2$ với $4$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \cdot 1$

Bước 3.3.8

Nhân $8$ với $1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$z' = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Bước 5

Thay thế $z'$ bằng $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$