Giải tích Ví dụ

$x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ .

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = arctanh (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [arctanh (x)] + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $arctanh (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 2.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 2.5

Nhân $arctanh (x)$ với $1$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 2.6

Để viết $arctanh (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - x^{2}}$ ở dạng ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 - x^{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - x^{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Bước 3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Bước 3.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Bước 3.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Bước 3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Bước 3.11.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Bước 3.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Bước 3.13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Bước 3.14

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Bước 3.15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Bước 3.16

Kết hợp $- 2$ và $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Bước 3.17

Kết hợp $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Bước 3.18

Di chuyển ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.19

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.20

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 3.20.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.20.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.21

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 3.22

Nhân $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.23

Nhân ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.23.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 3.23.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Bước 3.23.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.23.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Bước 3.24

Rút gọn ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + arctanh (x) \cdot 1 + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $arctanh (x)$ với $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Bước 4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) - x}{1 - x^{2}}$

Bước 4.2.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) + 0}{1 - x^{2}}$

Bước 4.2.4

Cộng $arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})$ và $0$ .

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

Bước 4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $arctanh (x)$ ra ngoài $- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Đưa $arctanh (x)$ ra ngoài $- x^{2} arctanh (x)$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

Bước 4.4.1.2

Nhân với $1$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1}{- x^{2} + 1}$

Bước 4.4.1.3

Đưa $arctanh (x)$ ra ngoài $arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1)}{- x^{2} + 1}$

Bước 4.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1^{2})}{- x^{2} + 1}$

Bước 4.4.3

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1^{2} - x^{2})}{- x^{2} + 1}$

Bước 4.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1}$

Bước 4.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1^{2}}$

Bước 4.5.2

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{1^{2} - x^{2}}$

Bước 4.5.3

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 4.6

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 4.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.7

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

Bước 4.7.2

Chia $arctanh (x)$ cho $1$ .

$arctanh (x)$