Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Bước 4

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ sang $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $4$ ở dạng $2$ cộng $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Bước 5.2

Viết lại ${\sec (x)}^{2 + 2}$ ở dạng $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sec^{2} (x)$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Bước 7

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$u + C + \int u^{2} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 11

Rút gọn.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$