Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x - 6}{4 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 6$ và $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.3

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 1.3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Bước 1.4.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Bước 1.4.2.2

Trừ $- 6$ khỏi $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Bước 1.4.2.3

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Bước 1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Bước 1.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Bước 1.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Bước 1.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{2 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Bước 2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Bước 2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Bước 2.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

Bước 2.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

Bước 2.4.2

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

Bước 2.4.3

Kết hợp $\frac{- 6}{2}$ và $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

Bước 2.4.4

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

Bước 2.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Bước 2.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

Bước 2.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Bước 2.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

Bước 2.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{x^{3}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Bước 3.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

Bước 3.4

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$9 x^{- 4}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$