Giải tích Ví dụ

$\int \frac{{(x^{3} - 2 x)}^{3}}{x^{3}} d x$

Bước 1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3} d x$

Bước 3

Khai triển ${(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Bước 3.2

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Bước 3.3

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Bước 3.4

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Bước 3.5

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Bước 3.6

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x {(- 2 x)}^{2}) x^{- 3} d x$

Bước 3.7

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} d x$

Bước 3.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x)) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{- 3} + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.11

Di chuyển $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.12

Di chuyển $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.13

Di chuyển $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.14

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.15

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.16

Di chuyển $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Bước 3.17

Di chuyển $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} d x$

Bước 3.18

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.19

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.20

Di chuyển $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.21

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.22

Cộng $3$ và $3$ .

$\int x^{6} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.23

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6 + 3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.24

Cộng $6$ và $3$ .

$\int x^{9} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.25

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{9 - 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.26

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.27

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.28

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{3 + 3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.29

Cộng $3$ và $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{6} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.30

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{6} - 6 (x^{6} x^{1}) x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.31

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{6 + 1} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.32

Cộng $6$ và $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{7} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.33

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{7 - 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.34

Trừ $3$ khỏi $7$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.35

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} - 6 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.36

Nhân $- 6$ với $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.37

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{3} x^{1}) x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.38

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3 + 1} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.39

Cộng $3$ và $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.40

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{4} x^{1}) x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.41

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4 + 1} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.42

Cộng $4$ và $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.43

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5 - 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.44

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.45

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.46

Nhân $4$ với $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.47

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x) x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.48

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x^{1}) x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.49

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{1 + 1} x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.50

Cộng $1$ và $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2} x \cdot x^{- 3} d x$

Bước 3.51

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{2} x^{1}) x^{- 3} d x$

Bước 3.52

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2 + 1} x^{- 3} d x$

Bước 3.53

Cộng $2$ và $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3} x^{- 3} d x$

Bước 3.54

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3 - 3} d x$

Bước 3.55

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{0} d x$

Bước 3.56

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 \cdot 1 d x$

Bước 3.57

Nhân $- 8$ với $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{6} d x + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Bước 6

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Bước 8

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int - 8 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Bước 11.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 8 x + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{6 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{6}{5} x^{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$