Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Bước 3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x - 1$ và $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.9

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4.10.3

Nhân $\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ với $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.5

Nhân $x^{2} + 3$ với ${(x^{2} + 3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $x^{2} + 3$ với ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $x^{2} + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

Bước 3.5.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.1.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{(6 x + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.2.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.2.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.2.3

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.2.4

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.3

Trừ $6 x^{2}$ khỏi $3 x^{2}$ .

$\frac{(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.4

Khai triển $(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$\frac{6 x (- 3 x^{2}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{6 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.5.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{6 \cdot - 3 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.3

Nhân $6$ với $- 3$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.4

Nhân $9$ với $6$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x \cdot x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.5.5.6.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.7

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.8

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.9

Nhân $- 2$ với $9$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.5.10

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 4 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.6

Trừ $4 x$ khỏi $54 x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.5.7

Cộng $12 x^{2}$ và $6 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.7

Đưa $2$ ra ngoài $- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 18 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.7.2

Đưa $2$ ra ngoài $18 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $50 x$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.7.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 18$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.7.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.7.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x)$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.7.7

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 9 x^{3}$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3}) + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $25 x$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.13

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.14

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.15

Viết lại $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ ở dạng $- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 3.6.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$