Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4 x - 2}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x - 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{u}{u^{2}} d u$

Bước 2

Triệt tiêu thừa số chung của $u$ và $u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1}}{u^{2}} d u$

Bước 2.2

Đưa $u$ ra ngoài $u^{1}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u^{2}} d u$

Bước 2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Bước 2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 1$ .

$\ln (| 2 x - 1 |) + C$