Giải tích Ví dụ

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2 e^{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y e^{x}$ đối với $y$ là $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y \cos (2 x y)$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ .

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = \cos (2 x y)$ .

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \cos (y)$ và $g (y) = 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.4

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Bước 3.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Bước 3.9

Nhân $\cos (2 x y)$ với $1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

Bước 4.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$