Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x + 1)}^{40} {(4 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 3)}^{45}}$

Bước 1

Chia tử và mẫu cho lũy thừa với số mũ cao nhất của $x$ dưới mẫu.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{{(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 2.3

Đưa số mũ $40$ từ ${(\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 2.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 2.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 2.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot lim_{x \to \infty} {(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa số mũ $5$ từ ${(\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 4.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 4.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 4.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa số mũ $45$ từ ${(\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 6.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 6.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 6.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x})}^{45}}$

Bước 6.6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{45}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{{(2 \cdot 1 + 0)}^{40} \cdot {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.1.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 \cdot 1 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.1.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{2^{40} {(4 - 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{2^{40} {(4 + 0)}^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.1.5

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{2^{40} \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.1.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $40$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 4^{5}}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.1.7

Nâng $4$ lên lũy thừa $5$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 \cdot 1 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 3 \cdot 0)}^{45}}$

Bước 8.2.2

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{{(2 + 0)}^{45}}$

Bước 8.2.3

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{2^{45}}$

Bước 8.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $45$ .

$\frac{1099511627776 \cdot 1024}{35184372088832}$

Bước 8.3

Nhân $1099511627776$ với $1024$ .

$\frac{1125899906842624}{35184372088832}$

Bước 8.4

Chia $1125899906842624$ cho $35184372088832$ .

$32$